Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz

Prof. Dr. Th. Ungerer
Malte Borcherding
4. Juli 1996


Blatt5

Musterlösung zum 5. Übungsblatt

1. Aufgabe (Hammingcode)

  1.     ( 1101 )
    | 1011 |
    | 1000 |
G = | 0111 |
    | 0100 |
    | 0010 |
    ( 0001 )

  2.     ( 1010101 )
H = | 0110011 |
    ( 0001111 )

2. Aufgabe (Zuverlässigkeit)

  1. S1 = (K1 K4 K7) OR (K2 K5 K8) OR (K3 K6 K9)
    S2 = (K1 OR K2 OR K3)(K4 OR K5 OR K6)(K7 OR K8 OR K9)

  2. "Ausmultiplizieren" von S2:
    S2 = (K1 K4 K7) OR (K2 K5 K8) OR (K3 K6 K9) OR (K1 K6 K9) OR ... weitere Terme.
    Folglich: S1 => S2
    Im Zuverlässigkeitsblockdiagramm sind die Wege von S2 eine Obermenge der Wege von S1.
    Also: phi(S2) = phi(S1) + phi(zusätzliche Wege) => phi(S2) >= phi(S1)

  3. phi(K1 K4 K7) = phi(K2 K5 K8) = phi(K3 K6 K9) = 0,9^3
    phi(S1) = 1 - (1 - 0,9^3)^3 = 0,980
    phi(K1 OR K2 OR K3) = phi(K4 OR K5 OR K6) = phi(K7 OR K8 OR K9)
    = 1 - (1 - 0,9)^3
    phi(S2) = (1 - (1 - 0,9)^3)^3 = 0,997
    PHI(S1 -> S2) = ( 1 - 0,980)\(1 - 0,997) = 6,66

3. Aufgabe (Zuverlässigkeit)

  1. Achtung, Änderung ggü. ausgeteiltem Aufgabenblatt:
    Zeichnen Sie jeweils Zuverlässigkeitsblockdiagramm und Fehlerbaum der redundanten Systeme 
    S1 = ((K1 AND K2) OR (K3 AND K4)) AND A1
    und 
    S2 = ((K1 OR K3) AND A1) AND ((K2 OR K4) AND A2).

  2. Sei x:= e^(-lambda*T) und y:= e^(-mu*T).
    phi(S1, T) = (1 - (1 - x^2)^2) * y
    phi(S2, T) = (1 - (1 - x)^2)^2 * y^2

    lambda klein, mu groß => Ki zuverlässig, Ai unzuverlässig => phi(S1, T) > phi(S2, T)

    z.B. lambda = 10^(-6)/h, mu = 1/h =>
    phi(S1, 10^3 h) = (1 - (1 - (e^(-10^(-6)/h * 10^3 h))^2)^2) * e^(-1/h * 10^3h)
    = 0,999 996 0 * e-1000 = 1/e^1000

    phi(S2, 10^3 h) = (1 - (1 - (e^(-10^(-6)/h * 10^3 h)))^2)^2 * (e^(-1/h) * 10^3h)^2
    = 0,999 998 0 * e-2000 = 1/e^1000 * 1/e^1000

    lambda groß, mu klein => Ki unzuverlässig, Ai zuverlässig => phi(S1) < phi(S2)

    z.B. lambda = 100/h, mu = 10^(-6)/h => phi(S1, 10^3 h) = (1 - (1 - (e^(-10))^2)^2) * e^(-0,001) = 4 * 10^(-9) * 1

    phi(S2, 10^3 h) = (1 - (1 - (e^(-10))^2)^2) * (e^(-0,001))^2 = 8,2 * 10-9 * 1^2

  3. phi(S1,T) = phi(S2,T) <=> (1 - (1 - x^2)^2) * y = (1 - (1 - x)^2)^2 * y^2
    <=> 2x^2 - x^4 = (2x - x^2)^2 * y
    <=> 2 - x^2 = (2 - x)^2 * y <=> y = (2 - x^2)/((2 - x)^2)

    e^(-mu*T) = (2 - e(-2*lambda*T))/((2 - e^(-lambda*T))^2)
    <=> mu = (1/T)*ln ((2 - (e^(-lambda*T))^2)/(2 - e^(-2*lambda*T)))

  4. 1/(5*10^5 h) * ln (((2 - e^((-8*10^(-6)/h) * 5*10^5 h))^2)/ (2 - e^(-2*8*10^(-6)/h * 5*10^5 h)) = 1,35 * 10^(-6)/h > mu
    => mu klein genug, so daß für T = 5*10^5 h gilt: phi(S2,T) > phi(S1,T). Wähle also das System S2.

4. Aufgabe (Zuverlässigkeit)

  1. S(2von3)=(K1 K2) OR (K1 K3) OR (K2 K3)

  2. z(t) = (d/dt F_L(K,t))/R(K,t) = (d/dt(1-R(K,t)))/R(K,t)
    = ln2 * lambda

  3. R(K,t) < R(S(2von3),t)
    Schnittpunkte der Überlebensw'keiten finden (R:=R(K,t)):
    R = R^3 + 3*R^2*(1-R) = 3*R^2 - 2*R^3
    => R1 = 0, R2 = 1/2, R3 = 1
    R(K,t) ist zwischen 1/2 und 1 kleiner als R(S(2von3),t)
    => t1 = 0, t2 = 1/lambda. Gesuchtes Intervall: (0, 1/lambda).

  4. E(L) = Integral(0,infty)R(S(2von3),t) dt = 1/(lambda*ln2)*5/6
    => lambda = 1/ln2.
Malte Borcherding