Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz

30. Juni 1998

5. Übungsblatt zur Vorlesung Rechnerstrukturen

Die Besprechung des Übungsblattes findet am Donnerstag, den 9. Juli 1998, statt. Die Musterlösung wird im Anschluß an die Übung im WWW zu finden sein. Für Fragen zu dieser Übung steht am Montag, den 13. Juli, zwischen 14.00h und 16.00h eine Sprechstunde zur Verfügung (Informatikgebäude am Schloß, Raum 254). Darüberhinaus besteht die Möglichkeit, per E-Mail (andreas@ira.uka.de) Kontakt aufzunehmen.

Aufgabe 1 (Zuverlässigkeit)

Die beiden Systeme S₁ und S₂ seien durch je ein Zuverlässigkeitsblockdiagramm definiert, wobei alle mit H bezeichneten Komponenten die Funktionswahrscheinlickeit $\varphi(H) = 1$ aufweisen:

a): Wie lauten die Systemfunktionen der Systeme S₁ und S₂ ?
b): Zeigen Sie, daß eines der beiden Systeme (welches ?) stets eine größere oder gleiche Funktionswahrscheinlichkeit als das andere aufweist (die Funktionswahrscheinlichkeiten der einzelnen Komponenten seien in beiden Systemen gleich).
c): Wie unterscheiden sich die Funktionswahrscheinlichkeiten der Systeme, wenn jede Komponente K_i die gleiche Funktionswahrscheinlichkeit $\varphi(K_i) = 0,9$ aufweist?

Aufgabe 2 (Zuverlässigkeit)

Ein System $S_0 = K_1 \wedge K_2$ wird um die redundanten Komponenten K₃ und K₄ ergänzt, wobei K₃ die gleiche Funktion wie K₁ und K₄ die gleiche Funktion wie K₂ ausführt. Zur Auswahl eines der redundanten Ergebnisse werden zusätzlich Auswahleinheiten A₁, A₂ benötigt. Die Komponenten $K_1, \ldots, K_4$ besitzen die Ausfallrate $\lambda$ , die Auswahleinheiten die Ausfallrate $\mu$ .

a): Zeichnen Sie jeweils Zuverlässigkeitsblockdiagramm und Fehlerbaum der redundanten Systeme
b): Zeigen Sie durch Beispiele, daß durch Wahl der Parameter $\lambda$ und $\mu$ der Wert $\varphi(S_1,1000h)$ sowohl kleiner als auch größer sein kann als $\varphi(S_2,1000h).$
c): Welcher Bedingung müssen $\mu$ und die Zeit T genügen, damit für eine vorgegebene Ausfallrate $\lambda$ beide Systeme die gleiche Funktionswahrscheinlichkeit besitzen, d.h. damit $\varphi(S_1, T) = \varphi(S_2, T)$ gilt ?
d): Welches System ist für $\lambda = 8*10^{-6}/h$ und $\mu = 1*10^{-6}/h$ während der Betriebsdauer $0 \leq t \leq 5 \cdot 10^5 h$ vorzuziehen ?

Aufgabe 3 (Zuverlässigkeit, alte Klausuraufgabe)

Gegeben sei ein Mehrfachsystem S mit gegenseitiger Redundanz. Es besteht aus den drei Komponenten K₁, K₂ und K₃. Eine Komponente ist als Ersatzkomponente vorgesehen. Alle Komponenten sind gleichartig mit der Funktionswahrscheinlichkeit $\varphi(K_i) = \alpha, \ i = 1, 2, 3.$

a): Geben Sie das Zuverlässigkeitsblockdiagramm von S an.
b): Geben Sie die Systemfunktion und den Fehlerbaum von S an.
c): Geben Sie die Funktionswahrscheinlichkeit $\varphi_S$ von S in Abhängigkeit von $\varphi$ an.
d): Wie groß ist die Zuverlässigkeitsverbesserung $\Phi_{S^{'} \rightarrow S}$ von S gegenüber einem nichtredundanten System mit nur zwei der Komponenten ?

Aufgabe 4 (Zuverlässigkeit)

Gegeben sei ein 2-von-3-System, dessen Komponenten zufallsverteilt mit gleicher Rate ausfallen. Die Überlebenswahrscheinlichkeit einer Komponente wird durch die Formel

$\begin{displaymath}R(t) = e^{- \lambda \cdot t}, \quad t \gt 0 \end{displaymath}$

beschrieben.

a): Geben Sie die Systemfunktion an.
b): Wie groß ist die Ausfallrate für eine einzelne Komponente?
c): Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in denen das 2-von-3-System eine größere Überlebenswahrscheinlichkeit als eine einzelne Komponente aufweist.
d): Bestimmen Sie $\lambda$ derart, daß die mittlere Lebensdauer für das gegebene 2-von-3-System $\frac{5}{6}$ beträgt.

Aufgabe 5 (Zuverlässigkeit, alte Klausuraufgabe)

Es soll eine Sonde zum Mars geschickt werden. Die Flugdauer beträgt 211 Tage (T=211 d). Zur Stromversorgung ist sie mit 4 Sonnensegeln S₁, S₂, S₃, S₄ ausgerüstet. Mindestens 2 Sonnensegel müssen intakt sein, um genügend Energie zu erzeugen. Die Steuerung der Segel erfolgt mit 3 parallelen Mikrocontrollern C₁, C₂, C₃ und einem Mehrheitsentscheider M. Stastistische Berechnungen ergaben, daß jedes Segel im Schnitt alle 20 Jahre durch den Einschlag von Meteoriten zerstört wird. Die Mirkocontroller fallen mit konstanter Ausfallrate $\lambda_C = \frac{1}{100a}$ aus. Der Mehrheitsentscheider fällt nicht aus.

a): Welche Art von Redundanz liegt vor ?
b): Zeichnen Sie ein Zuverlässigkeitsblockdiagramm.
c): Durch welche Verteilung läßt sich die Überlebenswahrscheinlichkeit eines Segels beschreiben, wenn man von einer gleichmäßigen Meteoritendichte im Weltall ausgeht ?
d): Geben Sie die Überlebenswahrscheinlichkeit für die Sonnensegel R_S(t), die Mikrocontroller R_C (t) und den Mehrheitsentscheider R_M (t) an.
e): Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht die Sonde den Mars ?

Andreas Schäfer

30. Juni 1998